Sekcja Logiki

W pracy [Pietruszczak, 2009] wykazałem, że normalne logiki K45, KB5 (= KB4) i KD45 są zdeterminowane przez odpowiednie klasy uproszczonych struktur Kripkego postaci ⟨W, A⟩, w których W jest niepustym zbiorem oraz A ⊆ W. Taka uproszczona struktura ⟨W, A⟩ odpowiada standardowej, mającej postać ⟨W, R⟩, gdzie R = W × A. I tak logika K45 jest zdeterminowana przez klasę wszystkich uproszczonych struktur Kripkego. Dla KD45 wymagane jest, aby A≠∅. Dla KB5 (= KB4) ma być spełniony warunek: A = W lub A = ∅. Wiadomo też, że dla S5 wolno stosować uproszczone struktury z A = W.

W pracy [Pietruszczak et al., 2019] rozszerzono powyższy wynik. Po pierwsze, pokazano, że dana logika modalna jest zdeterminowana przez jakąś klasę struktur uproszczonych wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona normalnym rozszerzeniem logiki K45. Ponadto, dana logika modalna jest normalnym rozszerzeniem logiki K45 (odp. KD45; KB4; S5) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona zdeterminowana przez jakiś zbiór uproszczonych struktur skończonych (odp. takich struktur z A≠∅; takich struktur z A = W lub A = ∅; takich struktur z A = W). Po drugie, dla wszystkich normalnych rozszerzeń logik K45, KB5, KD45 i S5, w szczególności dla rozszerzeń otrzymanych przez dodanie tzw. aksjomatu “verum”, formuł Segerberga i/lub ich T-wersji, udowodniono pewną wersję Faktu Nagle’a [1981] (fakt ten dotyczy normalnych rozszerzeń logiki K5). Po trzecie, pokazano, że rozszerzenia te są zdeterminowane przez pewne klasy skończonych struktur uproszczonych, generowanych przez skończone podzbiory zbioru liczb naturalnych N.

W referacie krótko omówię powyższej przedstawione wyniki. Ponadto wskażę specjalny rodzaj uproszczonych struktur, które będą odpowiednie w sytuacji, gdy w sformułowaniach logik K45, KB5, KD45 i S5 formułę (5): ◊□ p→□p zastąpimy formułą Sobocińskiego (R1): p→(◊□p→□p) [Sobociński, 1964]. Te nowe uproszczone struktury mają być zatem adekwatne dla logik K4⊕(R1), KD4⊕(R1), KB⊕(R1) i S4⊕(R1) (pamiętamy, że S5 ≔ KT5 = S4⊕(5)). Uproszczone struktury dla tych ostatnich logik będą odpowiednio pewnymi modyfikacjami, powyżej podanych, uproszczonych struktur dla K45, KD45, KB5 i S5.

Logika S4⊕(R1), oznaczana także przez S4.4, jest stosowana w analizie kontekstów epistemicznych (wiadomo też, że logika KD45 bywa interpretowana jako logika przekonań). Standardowo dla S4.4 używa się struktur, w których relacja R jest zwrotna, przechodnia i spełnia warunek: ∀x,y,z(xRy∧x≠y∧xRx→zRy) [zob. np. Hughes and Cresswell, 1996, s. 184]. Temu warunkowi Stalnaker nadaje etykietę ‘TB’ (true belief ), gdyż w logice S4.4 wiedza traktowana jest jako prawdziwe przekonanie [zob. Stalnaker, 2006].

Podanie uproszczonej semantyki dla logiki S4.4 zapewne uprości jej badania. Może też rzucić pewne światło na to, czy logika ta jest odpowiednia do analizy pojęcia wiedzy. Podobnie, poprzednio podana uproszczona semantyka dla logiki KD45 może sugerować nieadekwatność tej ostatniej do analizy pojęcia przekonania.

Literatura

• Hughes, G., and M. Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, London 1996.
• Nagle, M.C., “The decidability of normal K5 logics”, Journal of Symbolic Logic 46(2): 319–328, 1981. DOI: 10.2307/2273624
• Pietruszczak, A., “Simplified Kripke style semantics for modal logics K45, KB4 and KD45”, Bulletin of the Section of Logic, 38 (3–4): 163–171, 2009.
• Pietruszczak, A., M. Klonowski i Y. Petrukhin, “Simplified Kripke-style semantics for some normal modal logics”, Studia Logica, 2019. DOI: 10.1007/s11225-019-09849-2
• Sobociński, B, “Modal system S4.4”, Notre Dame Journal of Formal Logic 5 (1964): 305–312. DOI: 10.1305/ndjfl/ DOI: 1093957980
• Stalnaker, R., “On logics of knowledge and belief”, Philosophical Studies: An International Journal for Philosophy in the Analytic Tradition 128, 1 (2006): 169–199. DOI: 10.1007/s11098-005-4062-y

Rachunek sekwentów stanowi popularne narzędzie teorii dowodu. Standardowa postać ma jednak ograniczone zastosowanie do formalizacji logik nieklasycznych co doprowadziło do powstania rozmaitych uogólnionych wersji rachunków sekwentowych. Rachunki bisekwentowe stanowią propozycję minimalnej syntaktycznej modyfikacji aparatu standardowego rachunku sekwentowego. Reguły definiowane są na parach sekwentów standardowych. Ta niewielka modyfikacja pozwala uzyskać zadowalające rezultaty w odniesieniu do rozmaitych logik nieklasycznych. Zaprezentujemy systemy tego typu dla logiki modalnej S5 oraz dla pewnych logik wielowartościowych. Prezentowane systemy spełniają ważne własności teorio-dowodowe, w tym eliminację reguły cięcia.

LCG jest logiką zdaniową z pierwotnym jednoargumentowym funktorem zmiany C czytanym zmienia się to, że …, formalizującą koncepcję dychotomicznych i dyskretnych zmian sytuacyjnych (od A do nie-A lub od nie-A do A). Jej rozszerzenie o modalny funktor □ – LCS4 – odnotowuje także koncepcję konieczności rozumianej jako stała niezmienność. Formalizmy LCG i LCS4 (1) są wyrażone w języku rozszerzającym się systematycznie o nowe stałe zdaniowe (2). Motywacje filozoficzne związane z LCG zadecydowały o konstrukcji semantyki, w której rozważa się tzw. historie zmian sytuacyjnych. O LCG i LCS4 wiadomo, że jest systemami pełnymi w klasie wszystkich historii. Niniejszym podejmujemy kwestię korespondencji między różnego rodzaju formułami języka LCG, a odpowiadającymi im klasami historii zmian sytuacyjnych, tzn. zagadnienie ewentualnej definiowalności tych klas na gruncie odpowiednich rozszerzeń LCG. Bierzemy pod uwagę dwa warianty definiowalności: definiowalność klasy historii F oraz definiowalność klasy wszystkich obcięć historii należących do F. Pojęcia te nie są równoważne i pozwalają m. in. na odnotowanie różnicy między sytuacją, w której rozszerzenie LCG wyróżnia określoną historię zmienności i taką, w której rozszerzenie LCG wyróżnia klasę wielu historii o takiej samej rytmice zmian zachodzących w tych historiach. Różnice te zostaną odniesione do semantycznych odpowiedników Heraklitejskiej, Parmenidejskiej i Arystotelesowskiej koncepcji zmienności.

(1) Świętorzecka K., Czermak H. (2015), A Logic of Change with Modalities. Logique et Analyse 232, 509-525.

(2) Świętorzecka K. (2012), Proposal to Describe a Phenomenon of Expanding Language.  Proceedings of SPIEE, 0277-786X, vol 8454, 24: 1-6.

Logiki epistemiczne budowane są standardowo w oparciu o semantykę możliwych światów zaproponowaną przez Saula Kripkego. Dzięki wykorzystaniu semantyki Kripkowskiej systemy te zyskały zastosowania nie tylko w epistemologii, ale również w takich dziedzinach nauki, jak informatyka, teoria gier, kognitywistyka czy kryptologia. Wzrost zainteresowania logiką epistemiczną wśród przedstawicieli innych dyscyplin naukowych sprawił jednak, że przed logikami wiedzy i przekonań zaczęto stawiać nowe cele: logiki epistemiczne zaczęto postrzegać jako systemy formalne, których celem jest również uchwycenie fenomenu zmiany epistemicznej dokonującej się w wyniku przepływu informacji między różnymi agentami. W celu modelowania tego zjawiska konstruowane są tzw. dynamiczne logiki epistemiczne. Logiki dynamiczne nie są jednak wolne od mankamentów typowych dla standardowych logik epistemicznych – systemy dynamiczne budowane są z wykorzystaniem semantyki światów możliwych, więc można powiedzieć, że logiki dynamiczne dziedziczą wiele problematycznych własności logik statycznych. Dotyczy to przede wszystkim tzw. problemu logicznej wszechwiedzy, czyli kontrowersyjnego założenia leżącego u podstaw logik epistemicznych budowanych w oparciu o semantykę możliwych światów, zgodnie z którym podmiot wiedzy zna wszystkie prawa logiki oraz wszystkie logiczne konsekwencje swojej wiedzy. Jeśli jednak systemy epistemiczne mają opisywać wiedzę realnie istniejących podmiotów, wspomniane założenia są niemożliwe do zaakceptowania. Głównym celem referatu będzie prezentacja systemu dynamicznej logiki epistemicznej, który pozwala na reprezentowanie zmiany aktualnej wiedzy agentów i pozostaje wolny od założenia o logicznej wszechwiedzy. Podany zostanie system aksjomatyczny dla tej logiki, zaproponowana zostanie dla niej naturalna semantyka, a także przedstawiony zostanie szkic dowodu twierdzenia o pełności. Zarysowane zostaną także możliwe zastosowania wprowadzonego formalizmu w teorii gier i w kognitywistyce.

W literaturze przedmiotu można często spotkać się z pojęciem „system Fregego”. Przy bliższej analizie okazuje się ono zawiłe. Powodowane jest to po pierwsze samą wieloznacznością pojęcia systemu, po drugie wieloaspektowością poglądów filozoficznych Gottloba Fregego. Nie bez znaczenia jest również fakt, że w polu zainteresowania tego prekursora filozofii analitycznej leżały zarówno filozofia jak i logika, zaś wytyczenie granicy pomiędzy tymi dziedzinami w jego dorobku twórczym jest bardzo trudne, jeżeli w ogóle możliwe. W literaturze przedmiotu pod pojęciem systemu Fregego rozumiano między innymi :

• implikacyjno-negacyjną aksjomatykę rachunku zdań (np. Kotarbiński 1985: 114),
• ujęcie klasycznego rachunku kwantyfikatorów (np. Kneale 1962: 478-493),
• logiczno-teoriomnogościową rekonstrukcję arytmetyki (Thiel 2002: 118),
• system semantyczny oparty na zasadzie kompozycyjności (np. Hintikka 1991: 32),
• szczególną teorię denotacji i sensu (Dummett 1998: 225).

Zasadniczo więc można wskazać trzy różne dziedziny przedmiotowe, które umożliwiają wyznaczenie lub chociaż doprecyzowanie zakresu pojęcia „system Fregego”. Pierwsza obejmuje dokonywane przez Fregego próby sformułowania w terminach syntaktycznych systemów formalnych, gdzie kluczowym dla określenia systemu jest dobór aksjomatów, reguł inferencyjnych, stałych logicznych. Druga, najogólniej rzecz ujmując, dotyczy logicyzmu Fregego, tzn. projektu sprowadzenia arytmetyki do logiki wzbogaconej o teorię mnogości. Ostatnią można by za C. Thielem (2002: 118) określić jako „teoriopoznawcze poglądy Fregego z tym wszystkim, co nazwano jego semantyką” . W niniejszej analizie ograniczę się do trzeciej z wyróżnionych wyżej dziedzin. Oczywiście pojęcie to wymaga dalszego doprecyzowania , przede wszystkim z uwagi na fakt, iż nie ma jednomyślności w rozumieniu tego, czym jest semantyka Fregego. Najczęściej utożsamia się ją z teorią sensu i denotacji, ale jak zauważa Hintikka (1991: 25), ważne są również takie elementy jak: budowa zdania atomowego, stałość relacji semantycznych, czy poglądy na relacje między językiem a światem. Za kluczowe do określenia systemu uznaję wskazanie układu zasad semantycznych: zasady ekstensjonalności, zasady kompozycyjności, zasady kontekstowości, zasady Fregego, zasady Churcha. Precyzyjne sformułowanie wyżej wymienionych zasad pozwala przedyskutować problem spójności ich układu.

Zdaniowa logika SCI (Sentential calculus with identity) została wprowadzona do literatury logicznej przez polskiego logika Romana Suszkę w pracy (Suszko 1968). System ten należy do szerszej klasy logik, tzw. logik niefregowskich, na gruncie których odrzuca się aksjomat Fregego głoszący, że denotacją zdania jest jego wartość logiczna. Konstruując system logiki niefregowskiej, Suszko postępował zgodnie z programem Fregego, odrzucając jedynie aksjomat Fregego. Konsekwencją odrzucenia tego aksjomatu było wprowadzenie uniwersum sytuacji będących semantycznymi korelatami zdań. Aby możliwe było stwierdzanie rozmaitych faktów dotyczących zależności pomiędzy sytuacjami w uniwersum modelu SCI, do języka klasycznego rachunku zdań zostaje dodany dwuelementowy spójnik ≡, nazwany spójnikiem identyczności: zdanie α≡β wyraża fakt, że sytuacje będące denotacjami zdań i są identyczne.

Rachunek SCI jest najsłabszą logiką niefregowską, która powstaje przez rozszerzenie klasycznego rachunku zdań o aksjomaty charakteryzujące spójnik identyczności. Suszko zdefiniował rachunek SCI jako system aksjomatyczny w stylu Hilberta. Rachunek sekwentów dla SCI został zaproponowany w pracy (Michaels 1974), a później zmodyfikowany w pracach (Wasilewska 1976, 1984). System tablicowy w stylu dual tableaux skonstruowany został w pracy (Golińska-Pilarek 2007). Jednak wszystkie te systemy są z pewnej perspektywy nieoptymalne. Otóż logika SCI jest rozstrzygalna, stąd naturalne jest poszukiwanie systemu dedukcyjnego dla SCI będącego procedurą decyzyjną, którą można by łatwo poddać automatyzacji. System sekwentów z Michaelsa (1974), jak i system tablicowy Golińskiej- Pilarek (2007), nie są procedurami decyzyjnymi. Jedyną znaną procedurą decyzyjną dla SCI jest system Gentzena skonstruowany przez Wasilewską, jednak jest to system bardzo skomplikowany, nieintuicyjny i trudny w implementacji.

W ostatnich dekadach za wzorcowy typ systemów łatwych w automatyzacji uznaje się systemy tablicowe w stylu Smullyana. Celem referatu jest przedstawienie najnowszych wyników dotyczących systemu tablicowego dla SCI będącego jednocześnie procedurą decyzyjną dla SCI.

Literatura

1. Michaels, “A uniform proof procedure for SCI tautologies”, Studia Logica 33(3), 1974, 299-310.
2. J. Golińska-Pilarek, “Rasiowa-Sikorski Proof System for the non-Fregean Sentential Logic SCI”, Journal of Applied Non-Classical Logics, 17(4) 2007, 509-517.
3. R. Suszko, “Non-Fregean logic and theories”, Analele Universitatii Bucaresti. Acta Logica 11, 1968, 105-125.
4. A. Wasilewska, “A sequence formalization for SCI”, Studia Logica 35(3), 1976, 213-217.
5. A. Wasilewska, “DFC-algorithms for Suszko logic and one-to-one Gentzen type formalization”, Studia Logica 43 (4), 1984, 395-404.

W latach siedemdziesiątych dwudziestego wieku Profesor Roman Suszko przedstawił ideę logik niefregowskich, jako tych, które nie spełniają tzw. aksjomatu Fregego, zgodnie z którym wszystkie zdania prawdziwe mają jeden i ten sam korelat semantyczny będący wartością logiczną prawdy, zaś wszystkie fałszywe mają jeden i ten sam korelat semantyczny będący wartością logiczną fałszu. Odrzucenie tego aksjomatu jest możliwe dzięki wyposażeniu logiki w spójnik, którego interpretacja nie daje się ograniczyć do modeli z jedynie dwiema wartościami logicznymi. Spójnikiem tym stała się identyczność zdaniowa – dwa zdania są identyczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam korelat semantyczny, który nie jest już tylko prawdą lub fałszem. Suszko chciał widzieć w korelatach semantycznych sytuacje. Dlatego semantyki dla logik niefregowskich były, w zamierzeniu Suszki, semantykami sytuacyjnymi, zaś same logiki logikami sytuacji. Dzisiaj coraz częściej logiki niefregowskie są rozumiane, jako logiki treści – myśli wyrażonych zdaniami. Niestety, jak dotąd jedynym spójnikiem wymuszającym niefregowski, a więc treściowy charakter logiki była identyczność Suszki. Okazuje się, że można zdefiniować także niefregowską implikację p : q (czytamy, p mówi to, co q), wyrażającą fakt iż treść zdania q jest częścią lub całością, a więc ingrediensem treści zdania p (An approach to the liar paradox, [w:] New Aspects in Non-Classical Logics and Their Kripke Semantics, RIMS: Kyoto 1997, p. 68-80; Paradoksy, Łódź 2006; Paradoxes, Springer, 2011). Taka treściowa implikacja staje się podstawą do zdefiniowania inferencji treściowej, różnej od tej określonej na implikacji interpretowanej wyłącznie w kategoriach zerowo-jedynkowych. Podobnie jak w przypadku identyczności Suszki, dodanie spójnika implikacji treściowej do logiki, np. klasycznej, czyni z niej logikę niefregowską, a więc logikę treści. Logika wyposażona w spójnik implikacji treściowej jest wolna od wielu paradoksów wynikających z prób zastosowania logik prawdziwościowych do wyrażenia naszego myślenia, które jest przecież myśleniem treściami zdań, a nie abstraktami reprezentującymi wartości logiczne. Dobrym przykładem jest tu klasyczna tautologia p→q∨(q→p), której próby użycia dla wyrażenia myślenia człowieka prowadzą do absurdalnych konsekwencji. Takiego zagrożenia nie ma w przypadku zastąpienia spójnika „”, spójnikiem implikacji treściowej „:”. Formuła p:q∨(q:p) nie jest bowiem tautologią logiki treści. Z podobnego powodu, na gruncie logiki treści nie pojawiają się inne paradoksy implikacji materialnej. Możliwe jest też wolne od paradoksalnych konsekwencji zdefiniowanie funktorów, których istotą jest treściowy charakter, np. deontycznych. W logice treści można analizować, bogatą zazwyczaj treść negacji zdania, która nie jest już sprowadzona do zera lub jedynki. Co ciekawe, logika treści okazuje się być formalizacją znanego i akceptowanego w Średniowieczu (np. Jean Buridan, Thomas Bradwardine, Albert Saksoński, Josse van Clichtove) podejścia do zdania kłamcy, które nie prowadzi do antynomii. Fakt ten, czyni możliwym treściowe zdefiniowanie prawdy w języku z implikacją treściową. Na uwagę zasługuje to, iż taka definicja prawdy okazuje się być formalizacją definicji Tarskiego. Na koniec wypada zauważyć, że logika treści wydaje się być zgodna z tzw. myśleniem szybkim w sensie Kahnemana i Tversky’ego. W logice tej, problem Lindy ma swoje naturalne wytłumaczenie, które uwalnia myślenie szybkie od oskarżenia o nielogiczność.

Wydaje się, że logiki treści w szczególny sposób zasługują na uwagę logików. Stanowią bowiem propozycję formalizacji naszego codziennego, treściowego ze swej natury myślenia. Wszelkie badania nad nimi prowadzone powinny być traktowane, jako kontynuacja dzieła Profesora Romana Suszki. Dlatego też, zaproponowane przeze mnie wystąpienie jest poświęcone Jego pamięci.

W referacie korzystam z formalizmu Ontologii sytuacji Bogusława Wolniewicza do określenia warunków prawdziwości norm prawnych. Odwołując się do, wprowadzonego przez Wolniewicza, pojęcia sytuacji, określam pojęcie reguły prawnej jako wyróżnionego zbioru zdarzeń. Wyróżniam trzy reguły prawne: nakaz, zakaz i dozwolenie. Norma prawna jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy każde zdarzenie będące interpretacją argumentu normy prawnej jest elementem odpowiedniej reguły prawnej.

Formalizm oparty na Ontologii sytuacji Bogusława Wolniewicza pozwala też określić podstawowe relacje semantyczne dla norm prawnych: wynikania między normami prawnymi, sprzeczności norm prawnych, przeciwieństwa norm prawnych, podprzeciwieństwa norm prawnych. Relacje te oparte są o znaczenia stałych logicznych, a także o własności reguł prawnych, w tym własności związane ze strukturą zdarzeń.

Odróżniam normy prawne od rozkazów – normy prawne są zdaniami w sensie logicznym, natomiast rozkazy nie są zdaniami w sensie logicznym. Co ciekawe, formalizm oparty na Ontologii sytuacji Bogusława Wolniewicza pozwala również na rozważanie własności semantycznych rozkazów: mimo, że rozkazy nie są zdaniami w sensie logicznym, można zdefiniować relacje między rozkazami, które odpowiadają relacjom wynikania, sprzeczności, przeciwieństwa i podprzeciwieństwa.
Uzyskane wyniki mogą okazać się użyteczne dla automatycznej analizy wypowiedzi prawniczych.

Literatura:
Bogusław Wolniewicz, Ontologia sytuacji, Warszawa 1985
Andrzej Malec, Wprowadzenie do semantyki prawa, Białystok 2018

1. Modern logic emerged from the reform of Aristotle’s syllogisms through algebra and other techniques of symbolic manipulation. It was also shaped by the 19th century developments of mathematics, specifically the foundations of geometry, the search for rigor in the calculus, and the axiomatization of set theory. By mathematical logic (ML) we mean the branch of logic that has arisen from foundational studies in mathematics.

ML developed two models of mathematical proof (MP): (1) sequence of formulae F1,. . . , Fn, where Fk is either an axiom or is obtained from the previous formulae Fi, Fj by the modus ponens rule, see [1], (2) twofold composition that includes, on the one hand, a sequence of formulae, and on the other, a sequence of signs explaining the status of each formula in the first sequence in terms of axioms, definitions, and references to other theorems or formulae, see [2],[3]. While the first model is rather speculative, it gave rise to a branch of ML called proof theory; the second model seems to emulate mathematical practice.
In this talk, we focus on the historical roots of MP and show their Euclid origins. More precisely, we show how editions and commentaries on The Elements, starting with the Late Renaissance and Early Modern ones, via the Peano Formulario Mathematico program, have paved the way to the second model of MP.

1. There are two components of Euclid’s proposition: the text and the lettered diagram. Latin tradition, beside extensive commentaries, has introduced a third part into Euclid’s proposition, namely marginalia, containing references to definitions, axioms and other propositions. Next to marginalia, the tradition of commentaries introduced yet another part into Euclid’s proposition: symbols representing some notions and relations; these symbols were included in the linear structure of the text simply in the place of words.

Peano has introduced a technique of purely symbolic representation of Euclid’s propositions. He has followed the same technique of symbolic representation in the foundations of calculus and geometry. Still, his symbolic propositions, next to a sequence of formulae, have included a system of references. Peano’s technique of symbolic representation of mathematical sentences has been adopted in [3], and due to the great influence of Prinicipa Mathematica on logic, it has become a standard model of MP.

References

[1] Hilbert, D. (1922). Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteillung, Abhandlungen aus

dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität, 1, 157–177.

[2] Peano, G. (1956). Opere Scelte, vol. I–III. Roma.

[3] Russell, B. & Whitehead, A. (1910–1913). Principia Mathematica. Cambridge.

Kamiński – logik wyrósł z trzech tradycji, które łączył i dalej rozwijał:

1. Szkoły lwowsko-warszawskiej, przez kontakty z Antonim Korcikiem, Kazimierzem Ajdukiewiczem, Tadeuszem Czeżowskim, Izydorą Dąmbską, Tadeuszem Kotarbińskim i Ludwikiem Borkowskim;
2. Koła Krakowskiego, przez teksty Jana Salamuchy, Józefa M. Bocheńskiego i powojenne dyskusje z Janem Drewnowskim;
3. Tomistycznej, rozwijanej w ramach Lubelskiej Szkoły Filozoficznej, do twórców której jest zaliczany.

W ocenie Czeżowskiego był „[…] jednym z najwybitniejszych polskich pracowników filozoficznych, przewyższających wielu innych zakresem wiedzy i szerokością zainteresowań”. 

Kamiński rozpoczął swoją pracę dydaktyczną oraz naukową od logiki (w tym historii logiki), stopniowo przechodząc do ogólnej metodologii nauk i metodologii filozofii. W 1952 uczestniczył w I Konferencji Logików. Nie wygłosił wprawdzie żadnego referatu, ale odbywające się tam obrady miały bardzo istotny wpływ na podejmowane później zadania badawcze. 

Oto obszary szeroko rozumianej logiki, w jakich pracował Kamiński:

1. Historia logiki.
2. Logika formalna: sylogistyka.
3. Semiotyka logiczna: koncepcja semiotyki logicznej, supozycje terminów, błędy logiczne.
4. Metodologia i teoria nauki: logika Fregego a metodologia systemu dedukcyjnego, indukcja matematyczna i metoda indukcyjna, teoria definicji.
5. Filozofia logiki i teoria poznania naukowego: koncepcja logiki, przedmiot logiki, forma i formalizm, znaczenie twierdzenia Gödla.
6. Logika o charakterze usługowym: logika dla filozofii (w szczególności dla metafizyki arystotelesowsko-tomistycznej), dydaktyka logiki.

Termin Anzahl funkcjonuje w języku niemieckim w różnych frazach liczbowych, mniej lub bardziej określonych. Słowo Anzahl pojawia się w kontekstach takich jak: Anzahl der Äpfel (liczba jabłek), Anzahl von Freuden (liczba przyjaciół), 5 ist Anzahl der Bäumen in meinem Garten (5 jest liczbą drzew w moim ogrodzie) czy 9 ist Anzahl der Planeten des Sonnensystems (9 jest liczbą planet Systemu Słonecznego).

Nieokreślona fraza liczbowa z terminem Anzahl. We frazach liczbowych typu nieokreślonego mamy do czynienia ze złożeniem nazwy liczby (Zahl), będącej przedmiotem abstrakcyjnym, z nazwą ogólną, która jest iloczynem nazwy ogólnej (np. jabłko) z nazwę obecną jedynie implicite, jakoś jeszcze dodatkowo przedmioty podpadające pod zakres nazwy pierwszej charakteryzujące (zwykle chodzi tu o nazwę ogólną odnoszącą się do miejsca, które te przedmioty zajmują). Przykładowo 5 jabłek zajmuje jakieś miejsce na stole.

Frazę tego typu, która jest wyrażeniem nazwowym można oddać tak:

aBx

gdzie a jest liczbą (Anzahl), x jest nazwą przedmiotów pewnego typu, która w złożeniu z ukrytą nazwą charakteryzującą te przedmioty daje nam nasze uniwersum dyskursu. Skoro a i x są nazwami, aBx też jest nazwą, to B jest funktorem kategorii – n/nn.

Określona fraza liczbowa z terminem Anzahl. Z frazami liczbowymi typu określonego (9 ist Anzahl den Planet des Sonnensystem czy Anzahl … ist gleich dem Anzahl ….) spotykamy się u Gottloba Fregego.

We frazach liczbowych typu określonego mamy do czynienia z wyrażeniem elementarnym typu:

aεAx

gdzie a jest liczbą, ε funktorem (kategorii s/nn) a x (określoną) nazwą ogólną. Występuje tu specyficzny funktor A (od Anzahl) kategorii n/n. Funktor ten można nazwać po polsku licznością. Wyrażenie nazwowe Ax – to liczność x. 

U Fregego Anzahl odnosiło się do pojęcia, które to było wyznaczane przez predykat jednoargumentowy (Begriffswort). Jest to też u niego funktor, tyle że kategorii n/(s/n). Frazę elementarną z tym funktorem u Fregego można wyrazić tak: a = A(P), gdzie predykat (jednoargumentowy) P jest odpowiednikiem nazwy x (z frazy a ε Ax). 

Ujęcie nasze, na gruncie rachunku nazw – ontologii elementarnej, wzbogaconej o schemat predykacji Fregego – jest bliższe językowi naturalnemu, w którym kategoria nazw jest pojmowana szeroko (nazwy jednostkowe i ogólne). W języku Fregego kategoria ta obejmowała jedynie nazwy jednostkowe (Eigennamen). 

Bibliografia

• Batóg T.: Podstawy logiki, wyd. 2, Wydawnictwo Naukowe UAM: Poznań 1994.
• Besler G.: Gottlob Frege o liczbie. Przyczynek do określenia roli, jaką dla filozofów pełni historia matematyki, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce”, 53(2013), s. 133-164.
• Borkowski L.: Logika formalna, wyd. 2, PWN: Warszawa 1977.
• Grote A.: Anzahl, Zahl und Menge. Die phänomenologischen Grundlagen der Arithmetik, Felix Meiner Verlag: Hamburg 1983.
• Helmholz H. von: Zählen und Messen, erkenntnisstheoretisch betrachtet, [in:] Philosophische Aufsätze, Eduard Zeller zu seinem f¨ünfzigjährigen Doctorjubiläum gewidmet, Fues’ Verlag: Leipzig 1887, s. 17-52.
• Patzig G.: Gottlob Frege und die logische Analyse der Sprache, [w:] Idem, Sprache und Logik, 2 Aufl., Vandenhoeck & Ruprecht: Göttingen 1981, s. 77-100.
• Słupecki J.: St. Leśniewski’s calculus of names, „Studia Logica”, 3(1955), s. 7-70.
• S.Leśniewski’s Lecture Notes in Logic (Jan T.J. Srzednicki i Zbigniew Stachniak, eds.), Kluwer Academic Publishers: Dordrecht 1988.
• Thiel Ch.: Anzahl, [w:] Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie (Jürgen Mittelstraß, hrsg.), Band 1, s. 138-139.
• Wilkosz W.: Arytmetyka liczb całkowitych. System aksjomatyczny, Kółko Matematyczno-Fizyczne UJ: Kraków 1932.
• Wojciechowski E.: Rachunek nazw i schemat predykacji z Begriffschrift Gottloba Fregego, „Kwartalnik Filozoficzny”, 44(2016), z. 3, s. 27-42.
• Wojciechowski E.: Między językiem naturalnym a formalnym, Aureus: Kraków 2017.

Począwszy od lat 20-tych XX w. zaczęły powstawać różnego rodzaju logiki nieklasyczne, ponieważ klasyczny rachunek logiczny okazywał się nieadekwatny do reprezentowania różnego rodzaju pozaformalnych rozumowań. W tworzeniu nowych niestandardowych rachunków aktywnie uczestniczyli również polscy logicy, w tym naukowcy z KUL. W ramach wykładu zostanie przedstawiony wkład w rozwój i szukanie pola aplikacji nieklasycznych rachunków logicznych wybranych przedstawicieli środowiska KUL.

In Venn diagrams, the non-empty sums of segions present some inconvenience for checking the syllogism validity because of their indefinite character in so far as the position of the element is concerned, yet it may be useful to mark the regions as non-empty because of the chance the region may present for a particular conclusion. Whereas the marking suggested by Seweryna Łuszczewska-Romahnowa was practically one-domentional, our suggestion is 2-D which allows to consider two such non-empty regions as indepEndent sets.

Zgodnie z powszechnie przyjętą (i występującą np. w ustawie antyhazardowej) definicją, gra hazardowa to gra o wygrane pieniężne lub rzeczowe, której wynik w szczególności zależy od przypadku. Definicja taka prowokuje do zadania przynajmniej trzech pytań, które są filozoficzne interesujące:

• Jak rozumiemy w tym kontekście pojęcie losowości (przypadkowości)?
• Czy zależność wyniku gry od zdarzeń losowych można stopniować, a jeśli tak – za pomocą jakiego formalizmu da się to opisać?
• Czy istnieje racjonalny hazard, albo innymi słowy, kiedy uznamy, że gracz na tyle panuje nad losowymi elementami gry, że potrafi zapewnić sobie realizację postawionych celów (np. zdobycie wygranej)?

Referat będzie poświęcony znalezieniu odpowiedzi na te pytania.

Paradoks kamienia jest wnioskowaniem, które ma ujawnić wewnętrzną sprzeczność pojęcia wszechmocy. W skrajnych interpretacjach paradoks ten stanowi argument na rzecz nieistnienia istoty wszechmocnej, czyli Boga. Paradoks kamienia rodzi się podczas próby odpowiedzi na pytanie: czy wszechmocny Bóg mógłby stworzyć taki kamień, którego nie mógłby podnieść? Każda z odpowiedzi prowadzi do stwierdzenia, że istnieje coś, co ogranicza moc Boga – albo może On stworzyć ów kamień, a wtedy nie może go podnieść, albo po prostu nie może stworzyć takiego kamienia. W obydwu przypadkach należy stwierdzić, że Bóg nie jest wszechmocny.

Na przestrzeni wieków na różne sposoby próbowano rozprawić się z paradoksem kamienia. Jedno z proponowanych rozwiązań przyjmuje, że do sprzeczności prowadzi ukryta przesłanka, która nie respektuje podstawowej zasady, wyrażonej już przez scholastyczną sentencję: ab esse ad posse valet, a posse ad esse non valet consequentia. Paradoks miałby powstawać w wyniku nieuprawnionego przejścia od możliwości do faktu, tymczasem wyrażenie Mp→p nie jest tautologią większości klasycznych systemów modalnych. To, że Bóg „może” stworzyć wspomniany kamień, nie znaczy, że go rzeczywiście stwarza, a zatem dopóki Bóg takiego kamienia nie powołuje do istnienia, nie traci atrybutu wszechmocy. W ten sposób rozwiązuje się paradoks kamienia, angażując do tego funktor czasowy.

Przedstawiony referat jest analizą powyższego rozwiązania i próbą jego krytyki. W opinii Autora rozwiązanie to, choć częściowo trafne, jest niewystarczające i rodzi dalsze pytania. Ponadto nie wydaje się, by rzeczywiście źródłem paradoksu było nieuprawnione przejście a posse ad esse, ponieważ ograniczenie mocy Boga powstaje uprzednio wobec aktu stworzenia problematycznego kamienia.

Standardowa teoria prawdopodobieństwa definiuje funkcję prawdopodobieństwa dla danej przestrzeni prawdopodobieństwa (Ω, K, P), jako funkcję rzeczywistą, której dziedziną jest σ-algebra podzbiorów zbioru Ω w zbiór liczb rzeczywistych  P: K → R. Na mocy twierdzenia o izomorfizmie między ciałem zbiorów i algebrą Boole’a, dziedziną funkcji prawdopodobieństwa może być algebra Boole’a podzbiorów zbioru Ω. W szczególnym przypadku dziedziną taką może być zbiór wszystkich formuł Boolowskich języka formalnego rachunku zdań z relacją klasycznej konsekwencji zdefiniowaną za pomocą funkcji interpretacji v: FOR → {1,0}, której dziedziną jest zbiór wszystkich poprawnie zbudowanych formuł tego języka, a {1,0} jest zbiorem klasycznych wartości logicznych.  Przy tak rozumianej funkcji prawdopodobieństwa wzajemne związki, jakie zachodzą między standardowym prawdopodobieństwem, a klasyczną konsekwencją nie muszą być proste ze względu na różnice, jakie zachodzą między funkcją interpretacji v i funkcją P: FOR → [0, 1]. Różnice te przesądzają o różnicach zachodzących między funkcją prawdopodobieństwa a klasyczną relacją wynikania, które wymagają analizy. Dajemy przegląd tych probabilistycznych warunków definiujących klasyczną relację konsekwencji. Mimo tego, że można wykazać ich równoważność logiczną, różnią się one pod względem informacji o klasycznej relacji konsekwencji.

Problem znalezienia logiki działania, czyli racjonalnego wyjaśnienia działania ludzkiego interesował badaczy już od dawna. W sposób usystematyzowany jako pierwszy mierzył się z nim Arystoteles, którego sylogistyka, czy racjonalność praktyczna, jest wciąż inspiracją i przedmiotem badań autorów współczesnych. Wśród nich trzy postaci wydają się najbardziej interesujące: Gertrude Elisabeth M. Anscombe, Georg H. von Wright oraz Jerzy Kalinowski. Mimo tego, że prace powyższych autorów powstawały w zbliżonym do siebie czasie, jedynie myśl Anscombe i von Wrighta jest dobrze znana i opracowana, podczas gdy pisma Kalinowskiego pozostają na uboczu dyskursu o rozumowaniach praktycznych. Niniejszy referat ma na celu przybliżenie wyników badań Kalinowskiego i skonfrontowanie ich z pracami Anscombe i von Wrighta.

Precyzyjne uchwycenie tego, jak Arystoteles rozumiał pojęcie “sylogizmu o działaniu” czy “sylogizmu działania” nie jest łatwe, ponieważ w jego pismach znajdziemy jedynie kilka fragmentów traktujących skrótowo o samej strukturze sylogizmu oraz kilka przykładów takich rozumowań. W pierwszej części swojego wystąpienia skupię się na zrozumieniu struktury ludzkiego działania oraz na odczytaniu budowy rozumowania praktycznego i odróżnieniu go od rozumowania teoretycznego, a także roli tego rozumowania dla nauk badających ludzkie działanie . Druga część będzie natomiast dotyczyć kwestii formalizacji sylogizmów praktycznych. Poruszę tu podejmowany przez badaczy problem wynikania (jak z teoretycznych przesłanek o działaniu miałby wynikać praktyczny wniosek) i skonfrontuję tu ze sobą próby formalizacji podjęte przez von Wrighta i Kalinowskiego.

Współczesne pojmowanie metalogiki (teorii systemów dedukcyjnych) jako oddzielnej i formalizowalnej nauki dedukcyjnej zawdzięczamy pracom Alfreda Tarskiego z lat trzydziestych. Aksjomatyzację części teorii systemów dedukcyjnych, zarówno ich składni jak i semantyki (spełnianie, prawda) zapoczątkowały sformułowane przez Tarskiego aksjomaty:

1. ogólnej teorii konsekwencji (Tarski 1930a), 
2. tzw. bogatszej teorii systemów dedukcyjnych (Tarski 1930b), 
3. metanauki (metajęzyka) czy tzw. teorii konkatenacji (Tarski 1933)

oraz ukazane przez Tarskiego (1933) podstawowe idee 

1. gramatyki rekursywnej, zwanej współcześnie gramatyką generatywną.

 W niniejszej pracy wychodzę od zarysowania aksjomatyzacji Tarskiego, dotyczącej metanauki (metajęzyka): teorii konkatenacji, zwanej też w angielskim „the theory of strings”, oraz jego idei gramatyki rekursywnej (punkty c) i d)). Najpierw, w części 1, w nawiązaniu do tej teorii, omawiam krótko, kapitalne wyniki Andrzeja Grzegorczyka (1997, 1999), określające fundament formalizacji metalogiki. Podaję tu także wzmiankę o pewnych własnych badaniach dotyczących teorii składni języka (1988, 1991, 2004) zainspirowanych przez Jerzego Słupeckiego. W zasadniczych częściach pracy nawiązujących do teorii Tarskiego, o których mowa w punktach a) i b), przedstawiam badania nad teorią systemów dedukcyjnych, dotyczące: 

• aksjomatyzacji ogólnego pojęcia operacji konsekwencji (część 2),
• aksjomatyk teorii klasycznej konsekwencji i teorii z nią równoważnych, oraz 
• aksjomatyk teorii nieklasycznych konsekwencji (część 3). 

W prezentacji stosownych aksjomatyk uwzględniam wyniki badań Jerzego Słupeckiego, jego uczniów, współpracowników czy osób, które znajdowały się w jego kręgu naukowym. Uwzględniam przy tym wprowadzoną przez Słupeckiego dwuaspektową charakterystyką systemu dedukcyjnego, zarówno jako systemu ze względu na asercję (wyznaczonego przez zwykłą operację konsekwencji) jak i systemu ze względu na odrzucanie (wyznaczonego przez wprowadzoną przez niego funkcję odrzucania, 1953), czyli tak zwaną operację konsekwencji odrzucania. Przedstawiam w związku z tym pewne aksjomatyzacje teorii konsekwencji odrzucania i konsekwencji dualnej, porównując te teorie z teoriami zwykłej konsekwencji.

Tym, co niewątpliwie cechuje pojęcia matematyczne, jest ich „abstrakcyjność”. Zakładając, że „abstrakty matematyczne” tworzą hierarchię opisywaną za pomocą teorii typów logicznych, możemy każdemu z nich przypisać „stopień abstrakcji”. W tym sensie powiemy, że dany abstrakt matematyczny cechuje się „wyższym stopniem abstrakcji” od innego abstraktu matematycznego, gdy posiada wyższy typ w hierarchii typów logicznych. W tym samym sensie możemy również powiedzieć, że abstrakty niższego rzędu stanowią podstawę do konstrukcji abstraktów rzędu wyższego. Sama zaś „operacja abstrakcji”, prowadząca do tworzenia abstraktów wyższych rzędów, może być rozumiana jako tworzenie klas abstrakcji odpowiednich relacji równoważnościowych. 

Celem referatu jest przedstawienie konstrukcji prowadzącej do redukcji stopnia abstrakcji wybranych „abstraktów matematycznych” w oparciu o A. Tarskiego system geometrii bezpunktowej. Pokażemy, że stopień abstrakcji pewnych obiektów matematycznych, tj. liczb naturalnych, liczb rzeczywistych oraz podstawowych pojęć geometrii, można zredukować do najniższego możliwego stopnia, przy którym obiekty te pojawiają się je jako rezultat „aktu jednorazowej abstrakcji”, czyli że mogą być one rozumiane jako własności indywiduów.

Bibliografia

1. Gruszczyński, R., Pietruszczak, A. „Full Development of Tarski’s Geometry of Solids”, The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 14. Number 4. Dec. 2008, ss. 481–540.
2. Borkowski, L., „Logika formalna. Systemy logiczne, wstęp do metalogiki”, PWN, Warszawa, 1977.
3. Sitek, G., „The Notion of the Diameter of Mereological Ball in Tarski’s Geometry of Solids”, Logic and Logical Philosophy, Vol. 26 (2017), ss. 531–562.

The underlying motivation for the research in the field of axiomatic theories of truth is to determine the logical relations between various properties of the notion of truth. The examples of such properties include: compositionality with respect to a given set of connectives (for example: a disjunction is true if and only if one of its disjuncts is true), self–applicability (i.e. the truth can be meaningfully ascribed to sentences with the truth predicate) and providing (new) justifications for accepting sentences without the truth predicate (for example various consistency assertions). Such properties can naturally be modeled as certain set of axioms for the truth predicate or metalogical properties of certain theories.

In the talk we focus on axiomatic theories of truth over Peano Arithmetic (PA), thought of as the base theory. Such theories result by extending the latter theory with some axioms for the newly added unary predicate, thought of as a truth predicate for the language of arithmetic. Any such theory can be thought of as an axiomatization of a certain aspect of the notion of truth. We start by introducing all the relevant definitions and explaining the naturalness of this model. Next, we show how such an approach can give us new insights into some interesting philosophical problems. In particular we show various approaches to understand the deflationary claim that the notion of truth is epistemically light.

We end our talk by presenting the most recent developments concerning the Tarski Boundary, i.e. the „line” demarcating axiomatic theories of truth which prove arithmetical sentences unprovable in PA from the ones which are its conservative extensions. In particular we provide results showing how much about the notion of truth one should know in order to prove the consistency of the base theory.

Niech F oznacza zbiór wszystkich formuł języka J, zaś├ będzie (semantyczną lub syntaktyczną) relacją konsekwencji określoną na zbiorze F. Relację├ nazwiemy eksplozywną, o ile {α,∼α}├ β, dla dowolnych α, β∈F . Logikę  ⟨F,├⟩ nazywamy parakonsystentną, o ile relacja ├ nie jest eksplozywna, tj. {α, ∼α} ├┼ β, dla pewnych α, β∈F.

W skład zbioru aksjomatów parakonsystentnej logiki zdaniowej CluN wchodzą aksjomaty pozytywnej części logiki klasycznej, np.:

(A1) α→(β→α)

(A2) ((α→β→γ)→(α→βα→γ)

(A3) ((α→β)→α)→α

(A4) α→(β→α∧β)

(A5) (α∧β)→α

(A6) (α∧β)→β

(A7) α→(α∨β)

(A8) α→(β∨α)

(A9) (α→γ)→((β→γ)→((α∨β)→γ)

oraz prawo wyłączonego środka (A10) α∨∼α. Jedyną nieaksjomatyczną reguła inferencji jest reguła odrywania (RO) α,α→β∕β.

Celem referatu jest prezentacja rozszerzeń parakonsystentnej logiki zdaniowej CluN. Rozważone zostaną cztery takie  rozszerzenia: system B1  (aksjomaty  CluN plus

α→(∼∼α →β)) , system Cmin (aksjomaty CluN plus ∼∼α→α), system CB1 (aksjomaty CluN plus ∼α→(∼∼α→β) oraz system P1 Settego (zdefiniowany syntaktycznie na języku rozszerzonym o koniunkcję i alternatywę). Systemy zdefiniowane zostaną również semantycznie za pomocą tzw. semantyki biwaluacyjnej, oraz dodatkowo tzw. matryc niedeterministycznych.

Bibliografia

234. Batens, Paraconsistent extensional propositional logics, Logique et Analys, vol. 23 (1980), nr.90–91, s. 195–234.
235. Ciuciura, Hierarchie systemów logiki parakonsystentnej, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź, 2018.

W. Carnielli, J. Marcos, Limits for paraconsistent calculi, Notre Dame Journal of Formal Logi, vol. 40 (1999), nr.3, s. 375–390. A.M. Sette, On the propositional calculus P1, Mathematica Japonicae, vol. 18 (1973), no.3, s. 173–180.

 

Pojęcie części czasowej używane jest często w prezentacji różnych koncepcji trwania. Autorzy odwołują się zazwyczaj do definicji zaproponowanych przez T. Sidera lub D. Zimmermana, angażujących pojęcia mereologii. Celem referatu jest prezentacja autorskiej teorii części czasowej, w której korzysta się z koncepcji porządku zdarzeń zaproponowanej przez S. K. Thomasona [1], [2]. Ta ostatnia oparta jest na pojęciu zdarzenia a nie (punktowej) chwili i inspirowana analizami zagadnienia czasu prowadzonymi przez B. Russella. Thomason zaproponował sformalizowane ujęcie porządku zdarzeń i wskazał oryginalny sposób konstrukcji (punktowych) chwil ze zdarzeń. W celu realizacji tytułowego zadania zostanie zaproponowane rozszerzenie aksjomatyki Thomasona o aksjomaty wiążące rozpatrywane przez niego relacje z relacją bycia częścią.

[1] Thomason, S. K., On Constructing Instant from Events, Journal of Philosophical Logic 13(1984), 85-96.
[2] Thomason, S. K., Free Conctruction Time from Events, Journal of Philosophical Logic 18(1989), 43-67.

Mimo że mechanika kwantowa posiada ugruntowaną pozycję we współczesnej nauce, wciąż żywy jest problem jej interpretacji. Choć wielu współczesnych fizyków zdaje się sądzić, że dla rozwoju mechaniki kwantowej jako teorii i jej praktycznych zastosowań wybór jednej spośród wielu istniejących interpretacji (m.in. kopenhaska, wieloświatowa, zmiennych ukrytych) nie ma znaczenia, problem wciąż domaga się rozwiązania.

Jednym z budzących wątpliwości zagadnień jest status postulatu o redukcji stanu kwantowomechanicznego. Wśród odrzucających go (jako nie wynikającego z teorii i wprowadzającego problem wyjaśnienia wyjątkowego statusu zdarzenia fizycznego, jakim jest pomiar) interpretacji znajduje się modalna intepretacja mechaniki kwantowej zaproponowana przez Basa van Fraassena w latach 70. XX wieku.

W interpretacji tej van Fraassen wyraźnie rozdziela stany, które są możliwe, od tych, które są aktualne („konieczne”). Proponuje podział stanów na dynamical states (stany dynamiczne) i value states (stany wartości). Te pierwsze określają, jakie stany rzeczy mogą zachodzić, czyli jakie wartości wielkości fizycznych może przyjąć układ (na przykład w wyniku pomiaru). Odpowiadają standardowemu stanowi kwantowemu. Ewoluują zgodnie z równaniem Schrödingera i nie ulegają redukcji. Te drugie zaś reprezentują to, co aktualnie zachodzi, czyli wszystkie wielkości, które są dookreślone w danej chwili (czyli jakiś zbiór komutujących obserwabli). Wprowadzone jest tutaj założenie, że układy fizyczne w każdej chwili posiadają pewien zbiór wielkości fizycznych, których wartości są ściśle dookreślone, choć ich wartości, a także to, które wielkości do tego zbioru należą, może się zmieniać w czasie.

Interpretacja ta zwana jest modalną, gdyż podział ten łączy się z modalną logiką kwantową wraz z semantyką światów możliwych. Celem tego wystąpienia jest wydobycie i analiza podobieństw między nimi.

Na potrzeby niniejszych rozważań wystarcza pewna uproszczona teoria działań, gdzie S to zbiór sytuacji, M – zbiór morfizmów z działaniem składania, taki że m(s1)=s2 dla dowolnych s1, s2ϵS. Dla uproszczenia złożenie morfizmów m2ʘm1 będziemy zapisywać jako parę (m1, m2). Jeśli mamy ponadto H – zbiór ludzi (agentów), możemy określić działania (czyny) agentów poprzez morfizmy w zbiorze S:

 h(m1,…mn)→s – działanie osoby h ukierunkowane na cel s

h(m1,…,mk)=s – działanie osoby h osiągnęło cel s

h(m1,…,mk)≈s – działanie osoby h osiągnęło w przybliżeniu cel s.

Wprowadzamy definicję celu osiągalnego:

 Def CO.: Cel s nazywamy osiągalnym (z punktu s1) dla danego h wtw:

1) dla dowolnego h istnieje {m1,…, mn}: h(m1,…,mn)≈s

2) dla dowolnego h istnieje m0 ϵ M: h(m0, m1,…, mn)=s

Jeśli któryś z powyższych warunków jest niespełniony, cel nazywamy nieosiągalnym. Wówczas:

Def CS.: Czyn (m1,…, mk) jest supererogacyjny wtw dla prawie wszystkich hϵH cel tego czynu jest nieosiągalny.

W podobny sposób definiujemy różne typy czynów sprawiedliwych i badamy czy zdefiniowane jak wyżej czyny supererogacyjne spełniają warunki jednej bądź wszystkich kategorii czynów sprawiedliwych.

W drugiej księdze Retoryki (1378a) Arystoteles wskazał następujące komponenty retorycznego etosu, tj. wiarygodności mówcy: „Trzy istnieją przyczyny, dla których przemawiający są wiarygodnymi […]. Są nimi rozsądek, cnota i dobra wola” (przeł. M. Korolko). Rozróżnienie to stanowi inspirację dla badań nad odniesieniami do retorycznego etosu w debacie politycznej. Charakterystyczną własnością tego typu dyskursu jest wspieranie lub atakowanie różnych komponentów składających się na wiarygodność innych uczestników debaty, co ilustrują przykłady wypowiedzi zawartych w transkrypcjach obrad Parlamentu Brytyjskiego (https://api.parliament.uk/historic-hansard/): (1) Frank Allaun: „Pani Ruddock jest rzetelnym pracownikiem, któremu nie przyszłoby do głowy popełnienie zarzucanych jej wykroczeń”; (2) John Moore: „Chylę czoła przed Pani zasługami oraz szczegółową wiedzą na ten temat”. Przykład (1) ilustruje wsparcie komponentu etosu związanego z moralnością, a przykład (2) – z wiedzą. W referacie proponujemy wykorzystanie typologii arystotelesowskiej do analizy językowych wskaźników sygnalizujących odniesienia do trzech elementów etosu w brytyjskiej debacie parlamentarnej: wiedzy praktycznej, moralności i dobrej woli. Rezultatem badań jest repozytorium struktur komunikacyjnych (http://corpora.aifdb.org/EWVG) utworzone za pomocą oprogramowania OVA+ (Online Visualisation of Arguments; http://ova.arg-tech.org). Zaproponowana procedura składa się z następujących kroków: (i) przekładu typologii Arystotelesa na schemat anotacyjny dla zespołu analizującego transkrypcje debat, (ii) analizy transkrypcji debaty, (iii) opisu błędów w anotacji prowadzących do rozbieżności między rezultatami uzyskanymi przez poszczególnych członków zespołu oraz (iv) sformułowania kolejnej wersji instrukcji analizy tekstu. Szczególną rolę w tym procesie pełni etap analizy błędów anotacji. Umożliwił on dostrzeżenie metodologicznych problemów dotyczących dostosowania teorii komunikacji do empirycznych analiz wyrażeń.

Matematycy nazywają niektóre z badanych przez siebie obiektów patologicznymi. Odróżniają się one od obiektów standardowych (normalnych, naturalnych), o których z kolei mawia się, że „dobrze się zachowują”. Bycie standardem jest uwarunkowane m.in. zasięgiem zastosowań oraz zgodnością z żywionymi wprzódy intuicjami. Patologie mogą być nieoczekiwane i niechciane, ale w wielu przypadkach są konstruowane celowo, dla ukazania zakresu obowiązywania twierdzeń oraz wysubtelnienia bądź modyfikacji akceptowanych intuicji matematycznych – wtedy stanowić mogą inspirację dla rozwoju nowych dziedzin matematyki. Patologie pełnią często rolę kontrprzykładów (ale nie każdy kontrprzykład nazywamy patologicznym). Patologie odróżniamy od wyjątków oraz obiektów ekstremalnych. Nie każdy ,,dziwny” obiekt lub własność nazywamy patologicznymi – dzieje się tak dopiero wtedy, gdy występuje jakaś poważna kolizja z żywionymi uprzednio intuicjami. Często większość (w sensie teorii miary) obiektów w danej klasie to patologie, a obiekty standardowe, które zostały już dobrze poznane stanowią mniejszość. Jednak także obiekty patologiczne bywają oswajane, co skutkuje pogłębieniem wiedzy matematycznej. Ów proces oswajania przebiega u profesjonalnych matematyków oczywiście inaczej niż w reszcie populacji. Uważamy, że proces oswajania patologii jest jednym ze wskaźników roli matematyki w kulturze. Jest też frapującą oznaką zmian mocy poznawczych umysłu ludzkiego.

W odczycie podamy przykłady patologii z różnych działów matematyki (teoria mnogości, algebra, analiza, topologia, teoria miary), omówimy kontekst ich powstania a także proces ich oswajania. Dodamy uwagi dotyczące miar stopni dostępności poznawczej obiektów matematycznych. Podzielimy się też ze słuchaczami refleksjami związanymi z wykorzystaniem patologii matematycznych w dydaktyce matematyki na poziomie uniwersyteckim (dla studentów nauk kognitywnych).

Wyrażenia egzemplarzo-zwrotne (oraz ich rozwinięcie w postaci wyrażeń wypowiedzio-zwrotnych, zaproponowane przez Johna Perry’ego) stanowią ciekawą alternatywę dla tradycyjnej semantyki Kaplanowskiej, jednakże specyficzna charakterystyka powoduje, że nie poddają się formalizacji w równie elegancki sposób – w szczególności semantyki w stylu Montague są z reguły konstruowane dla tradycyjnych, „kaplanowskich” semantyk, w których wyliczenia odniesienia wyrażeń wskazujących dokonywane są presemantycznie. W swoim referacie chcę zaproponować formalizację semantyki egzemplarzo-zwrotnej cechującej się trzema nietrywialnymi cechami: 

• zarówno egzemplarze jak i wypowiedzi mają swoją strukturę algebraiczną, w szczególności są one rozciągłe przestrzennie i (w przypadku wypowiedzi) czasowo, a poszczególne egzemplarze i wypowiedzi podwyrażeń składają się na egzemplarz i wypowiedź całości zdania
• elementy semantyczne mają swoje kategorie i tworzą system typów w stylu gramatyki kategorialnej, jednakże egzemplarze oraz wypowiedzi (w przeciwieństwie do podejścia Kaplanowskiego) wchodzą bezpośrednio w skład typów semantycznych, np. jeśli w tradycyjnej gramatyce kategorialnej sąd ma typ semantyczny t, to w semantyce egzemplarzo-zwrotnej ma typ u -> k -> t, gdzie u to dziedzina wypowiedzeń, a k – dziedzina egzemplarzy; wymaga to nietrywialnych reguł kompozycji, przekazujących odpowiednie egzemplarze oraz wypowiedzi z zachowaniem struktury algebraicznej

w ramach egzemplarza oraz wypowiedzi mamy dostęp do struktury składniowej; ciekawe może być zbadanie ewentualności dostępu również do warstwy semantycznej (np. znaczeniem wyrażenia anaforycznego może być wynik ewaluacji semantycznej frazy nominalnej z sąsiadującego egzemplarza). Ewentualnemu brakowi ufundowania (kolistość) możemy zaradzić, postulując (a) częściowość funkcji ewaluacji semantycznej (co może pomóc przy opisie zapętlonych zdań, tzw. garden path sentences) oraz (b) semantykę stałopunktową (na wzór tej wykorzystywanej przez Kripkego do rozstrzygnięcia problemu zdań samozwrotnych).

Logika dostarcza uniwersalnych narzędzi badawczych dla wielu dyscyplin. Szczególnie szerokie zastosowanie znajdują one we współczesnej semantyce formalnej, rozumianej jako dział lingwistyki i filozofii języka. Celem naszego wystąpienia jest przedstawienie teorii odniesienia demonstratywnego (tj. odniesienia wyrażeń typu „ten”, „to”, „ta kobieta”, „tamten duży budynek” itp.) w ujęciu sformalizowanym.

Bazą dla naszej propozycji jest teoria Centeringu wypracowana przez językoznawców obliczeniowych. Podstawowe zastosowanie tej teorii polega na analizie lokalnej spójności dyskursu, czyli tego, jak dana wypowiedź w jakimś dyskursie łączy się z poprzednią i następną wypowiedzią, tworząc spójną całość. Głównym założeniem Centeringu jest to, że w ramach danej wypowiedzi pewne przedmioty są prezentowane jako ważniejsze niż inne. Ściślej rzecz biorąc, na zbiorze obiektów danej wypowiedzi określamy częściowy porządek. Zgodnie z kluczową tezą Centeringu obiekty maksymalne w porządku określonym w odniesieniu do wypowiedzi n są preferowane do realizacji przez zaimki i wyrażenia demonstratywne w wypowiedzi n + 1.

Naszym pomysłem jest rozszerzenie aparatury centeringowej na obiekty ogólnie relewantne dla dyskursu, a nie tylko realizowane przez kontekst językowy. Zgodnie z proponowanym podejściem, odniesienie wyrażenia demonstratywnego będzie wybierane spośród maksymalnych obiektów porządku określonego dla danego etapu kontekstu. W ramach prezentacji pokażemy konkretne zastosowanie naszej teorii na przykładach obejmujących różne użycia demonstratywów (w tym anaforyczne, jak i typowo deiktyczne). W dalszej perspektywie proponowana teoria odniesienia demonstratywnego może stać się podstawą dla algorytmów obliczających odniesienie wyrażeń w ramach komputerowego przetwarzania języka.

Literatura:

[1] Gauker, C. (2008). Zero tolerance for pragmatics. Synthese 165: 359–371.

[2] Grosz, B.J., Joshi,   A.K., Weinstein, S. (1995). Centering: A framework for modeling the local coherence of discourse. Computational Linguistics 21 (2): 202–225.

[3] Rostworowski, W., Pietrulewicz, N., (2018) Are descriptions really descriptive… Review of Philosophy and Psychology, online first: https://link.springer.com/article/10.1007/s13164-018-0418-z.

[4] Stojnić, U., Stone, M., and Lepore, E. (2013). Deixis (even without pointing). Philosophical Perspectives, 27, 502–525.

Jean Piaget był jednym z czołowych psychologów zajmujących się rozwojem poznawczym człowieka. Jego koncepcje do dziś odgrywają kluczową rolę w programach nauczania psychologii na wyższych uczelniach zajmując ważne miejsce w wyjaśnianiu rozwoju poznawczego człowieka. Na ogół nie poświęca się jednak przy tym większej uwagi zainteresowaniu tego autora logiką oraz jego poglądom na jej rolę w rozwoju psychologii. Co więcej samo zastosowanie logiki w psychologii stanowi dość egzotyczny temat i raczej nie jest poruszane w środowiskach akademickich. Właśnie dlatego chciałbym zająć się tym zagadnieniem w moim referacie przybliżając na początku rolę logiki w badaniach psychologicznych Jeana Piageta by później przyjrzeć się temu jak współpraca pomiędzy tymi dwiema naukami układa się poza działalnością tego badacza. Postaram się jednocześnie zarysować jej aktualny stan oraz dokonać refleksji dotyczącej tego czy ten specyficzny tandem daje perspektywy rozwoju tym dwóm naukom w przyszłości.